Question

18．已知拋物線G₁：y=ax²+bx+c的頂點為（2，-3），且經過點（4，1）．
（1）求拋物線G₁的解析式；
（2）將拋物線G₁先向左平移3個單位，再向下平移1個單位后得到拋物線G₂，且拋物線G₂與x軸的負半軸相交于A點，求A點的坐標；
（3）如果直線m的解析式為${y_{\;}}=\frac{1}{2}x+3$，點B是（2）中拋物線G₂上的一個點，且在對稱軸右側部分（含頂點）上運動，直線n過點A和點B．問：是否存在點B，使直線m、n、x軸圍成的三角形和直線m、n、y軸圍成的三角形相似？若存在，求出點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先設為頂點式，再把頂點坐標和經過的點（4，1）代入即可解決，
（2）根據平移規則直接寫出拋物線G₂的解析式，令y=0，即可求出點A的坐標，
（3）分為交點咋x軸上方，與下方進行分析，根據相似確定角的大小，進一步得到直線n的斜率，求出與y軸的交點坐標，由點A（-3，0），運用待定系數法，確定直線n的解析式，聯立拋物線G₂，解方程組即可求解．

解答 解：由拋物線G₁：y=ax²+bx+c的頂點為（2，-3），且經過點（4，1），
可設拋物線G₁：y=a（x-2）²-3，
把（4，1）代入得：1=4a-3，解得：a=1，
所以拋物線G₁：y=（x-2）²-3=x²-4x+1，
（2）拋物線G₁：y=（x-2）²-3先向左平移3個單位，再向下平移1個單位后得到拋物線G₂：y=（x+1）²-4，
令y=0，得：0=（x+1）²-4，解得：x=-3，或x=1（舍去），
所以點A（-3，0）．
（3）
直線m與x軸，y軸的交點分別為F，E，
當直線n與G₂交點在x軸上方時，直線n與x軸，y軸的交點為A，D，與拋物線交點B，與直線m交與點C，
當直線n與G₂交點在x軸下方時，直線n₁與x軸，y軸的交點為A，H，與拋物線交點B₁，與直線m交與點L，
當直線n與G₂交點在x軸上方時，如圖1：

由題意△CDE∽△CFA，此時有：∠CDE=∠CFA，
直線m的解析式為${y_{\;}}=\frac{1}{2}x+3$，當x=0時，y=3，當y=0時，x=-6，
∴點E（0，3），點F（-6，0），
∴OF=6，OE=3，
∴tan∠CDE=tan∠CFA=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∵OA=3，
∴OD=6，
點D（0，6），
設直線n：y=mx+n，把D（0，6），點A（-3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6=n}\\{0=-3m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直線n：y=2x+6，
聯立直線n和拋物線G₂得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+6}\\{y=（x+1）^{2}-4}\end{array}\right.$，
解得：x=3，或x=-3（舍去）
此時y=12，
所以：點B（3，12），
當直線n與G₂交點在x軸下方時，如圖2：

由題意△HLE∽△FLA，此時有：∠ELH=∠FLA=90°，
∠EHA=∠LFA，
直線m的解析式為${y_{\;}}=\frac{1}{2}x+3$，當x=0時，y=3，當y=0時，x=-6，
∴點E（0，3），點F（-6，0），
∴OF=6，OE=3，
∴tan∠EHA=tan∠LFA=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{OH}$=$\frac{1}{2}$，
∵OA=3，
∴OH=6，
點H（0，-6），
設直線n：y=mx+n，把D（0，-6），點A（-3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-6=n}\\{0=-3m+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴直線n：y=-2x-6，
聯立直線n和拋物線G₂得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-6}\\{y=（x+1）^{2}-4}\end{array}\right.$，
解得：x=-1，或x=-3（舍去）
此時y=-4，
所以：點B₁（-1，-4），
綜上所述：存在點B，使直線m、n、x軸圍成的三角形和直線m、n、y軸圍成的三角形相似，點B的坐標為（3，12）和（-1，-4）．

點評 此題主要考查二次函數的綜合問題，會運用待定系數法求函數解析式，會根據相似判斷出相等的對應角，并會根據三角函數求出線段的值進一步表示點的坐標，是解題的關鍵．