Question

【題目】對于任意一個自然數，如果的各個數位上的數字之和是一個整數的平方，那么稱為“方數”，例如，自然數32587各位數字之和是，所以32587就是一個“方數”；對于任意一個自然數，如果是一個整數的立方，那么稱為“立方數”，例如，，所以8是一個立方數．

（1）判斷9999是不是方數？729是不是立方數？

（2）若一個兩位數各位數字之和是一個“立方數”，并且各位數字相差4，請求出這個兩位數；

（3）若自然數既是“方數”又是“立方數”，則稱為完美數，請直接寫出小于1000的自然數中的所有完美數．

Answer 1

【答案】（1）9999是方數，729是立方數；（2）62或26.（3）27，216.

【解析】

（1）根據“方數”和“立方數”的定義直接判斷即可；

（2）首先判斷出兩位數數位上的數字之和的范圍，在此范圍內判斷出立方數，由此可計算出數位上各數字即可解決問題；

（3）首先判斷出1000之內的立方數，再判斷出這些立方數中的方數即可解決問題.

（1）∵9+9+9+9=36=62，

∴9999是一個“方數”；

∵729=93，

∴729是一個“立方數”.

（2）可設x，y是一個兩位數十位上的數字和個位上的數字（x，y均為整數），則：1≤x≤9，1≤y≤9，

∴2≤x+y≤18，

∵2與18之間的立方數只有8，

∴x+y=8，

∵x-y=4或y-x=4，

∴或

解得或，

所以，這個兩位數是62或26.

（2）小于1000的立方數有：8，27，64，125，216，343，512，729，

∴27各數位上數字和=2+7=9=32，

∴27是“方數”；

216各數位上數字和=2+1+6=9=32，

∴216是“方數”；

∴小于1000的“完美數”是27，216.