Question

【題目】如圖1在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，已知拋物線y=a（x+1）（x﹣3）與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸正半軸交于點C，且∠ABC=45°．

（1）求a的值；
（2）如圖2，點D在線段BC上（不與C重合），當AD=AC時，求D點坐標；

（3）如圖3，在（2）的條件下，E為拋物線上一點，且在第一象限，過E作EF∥AD與AC相交于點F，當EF被BC平分時，求點E坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線y=a（x+1）（x﹣3），

令y=0，則有a（x+1）（x﹣3）=0，

解得：x=﹣1，或x=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵∠ABC=45°，∠BOC=90°，

∴OB=OC=3，

∴C（0，3），

將點C（0，3）代入二次函數解析式得：

3=a×（0+1）×（0﹣3），

解得：a=﹣1

（2）

解：∵點A（﹣1，0），點C（0，3），點B（3，0），

∴AC= ，

又∵∠ABC=45°，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

設點D的坐標為（m，﹣m+3），

由兩點間的距離公式可知：AD= ，

∵AD=AC= ，

∴有 = ，

解得：m=0（舍去），m=2，

此時﹣m+3=﹣2+3=1．

故當AD=AC時，D點坐標為（2，1）

（3）

解：設直線AD的解析式為y=kx+b，

將A（﹣1，0），D（2，1）代入，得

，解得 ．

∴直線AD的解析式為y= x+ ．

∵EF∥AD，

∴設直線EF的解析式為y= x+c．

令﹣x+3= x+c，則有x= （3﹣c）．

將y= x+c代入y=﹣1（x+1）（x﹣3）中，得

﹣（3﹣c）=0，

由根與系數的關系可知：x1+x2=﹣ = ．

∵EF被BC平分，

∴EF與BC的交點的橫坐標為 ，

即 （3﹣c）×2= ，解得：c= ．

解方程 ﹣（3﹣ ）=0，得：x1= ，x2= ．

∵點E在第一象限，

∴點E的橫坐標為 ．

將x= 代入y= x+ 中得，y= ．

∴點E的坐標為（ ， ）

【解析】（1）通過拋物線解析式求出點AB坐標，利用等腰直角三角形性質求出C點坐標，代入拋物線即可求出a值；（2）由B、C點坐標可得出直線BC的解析式，設出D點坐標（m，﹣m+3），由兩點間的距離公式可表示出AD的長度，再由AC=AD找出關于m的一元二次方程，解方程求出m的值，代入到D點坐標中即可得出結論．（3）由A、D點坐標可得出直線AD的解析式，由EF平行AD設出直線EF的解析式，代入到拋物線中可得到關于x的一元二次方程，根據根與系數的關系表示出兩根之和，再由直線EF和BC的解析式可找出交點的坐標，根據EF被BC平分，可知交點的橫坐標的2倍為前面一元二次方程的兩根之和，解方程即可得出直線EF的解析式，從而得出點E的坐標．
【考點精析】通過靈活運用拋物線與坐標軸的交點，掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．即可以解答此題．