Question

17．某工廠接到一批粽子生產任務，按要求在15天內完成，約定這批粽子的出廠價為每只6元，為按時完成任務，該工廠招收了新工人，設新工人王浩第x天生產的粽子數量為y只，y與x滿足如下關系：
y=$\left\{\begin{array}{l}{54x，（0≤x≤5）}\\{30x+120，（5≤x≤15）}\end{array}\right.$，
（1）王浩第幾天生產的粽子數量為360只？
（2）如圖，設第x天每只粽子的成本是p元，p與x之間的關系可用圖中的函數圖形來刻畫．若王浩第x天創造的利潤為w元，求w關于x的函數表達式，并求出第幾天的利潤最大，最大利潤是多少元？（利潤=出廠價-成本）

Answer 1

分析 （1）把y=360代入y=30x+120，解方程即可求得；
（2）根據圖象求得成本p與x之間的關系，然后根據利潤等于出廠價減去成本價，然后整理即可得到W與x的關系式，再根據一次函數的增減性和二次函數的增減性解答．

解答 解：（1）設王浩第n天生產的粽子數量為360只，
由題意可知：30n+120=360，
解得n=8．
答：第8天生產的粽子數量為420只．
（2）由圖象得，當0≤x≤9時，p=4.1；
當9≤x≤15時，設P=kx+b，
把點（9，4.1），（15，4.7）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=4.1}\\{15k+b=4.7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=0.1}\\{b=3.2}\end{array}\right.$，
∴p=0.1x+3.2，
①0≤x≤5時，w=（6-4.1）×54x=102.6x，當x=5時，w_最大=513（元）；
②5＜x≤9時，w=（6-4.1）×（30x+120）=57x+228，
∵x是整數，
∴當x=9時，w_最大=741（元）；
③9＜x≤15時，w=（6-0.1x-3.2）×（30x+120）=-3x²+72x+336，
∵a=-3＜0，
∴當x=-$\frac{2a}$=12時，w_最大=768（元）；
綜上，當x=12時，w有最大值，最大值為768．
答：第12天的利潤最大，最大利潤是768元

點評 本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，主要是利用二次函數的增減性求最值問題，利用一次函數的增減性求最值，難點在于讀懂題目信息，列出相關的函數關系式．