Question

17．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AM是⊙O的直徑，過點A作AP⊥AM．
（1）求證：∠PAC=∠ABC．
（2）連接PB與AC交于點D，與⊙O交于點E，F為BD上的一點，若M為$\widehat{BC}$的中點，且∠DCF=∠P，求證：$\frac{CD}{AD}$=$\frac{FD}{ED}$．

Answer 1

分析 （1）連接BM，由圓周角定理和垂直的性質即可證明∠PAC=∠ABC；
（2）連接AE，根據垂徑定理得出AM⊥BC，進而得出AP∥BC，得出△ADE∽△CDF，根據相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可得出$\frac{CD}{AD}=\frac{FD}{ED}$．

解答 證明：
（1）連接BM，
∵AM是直徑，
∴∠ABM=90°                    
又∵AP⊥AM，
∴∠ABC+∠CBM=∠PAC+∠CAM=90°，
又∵∠CBM=∠CAM，
∴∠PAC=∠ABC；
（2）連接AE，
∵AM是直徑，M為$\widehat{BC}$的中點
∴BC⊥AM，
又∵AP⊥AM，
∴AP∥BC，
∴∠DCF=∠P=∠PBC=∠EAC，
又∵∠CDF=∠ADE，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{FD}{ED}$．

點評 本題考查了三角形相似的判定和性質、圓周角定理的應用以及垂徑定理的應用，解答時正確添加輔助線是關鍵．