Question

【題目】對于平面直角坐標系中的點和,給出如下定義:連接交于點,若點關于點的對稱點在的內部，則稱點是的外稱點.

(1)當的半徑為時，

①在點中，的外稱點是 ；

②若點為的外稱點，且線段交于點，求的取值范圍;

(2)直線過點， 與軸交于點. 的圓心為, 半徑為若線段上的所有點都是的外稱點，請直接寫出的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)① ；② ；(2)或．

【解析】

(1) ①由外稱點的定義可知：到圓心的距離小于3且大于1，點才是的外稱點，據此可求得答案；②由點知，點G在一、三象限角平分線上，則點也在一、三象限角平分線上，根據外稱點的定義，,且,由兩點之間的距離公式可求得的取值范圍;

(2)根據外稱點的定義，分點在點B左側時和右側兩種情況，線段上的點離最遠的點要小于3，離最近的點要大于1，畫出圖形，利用數形結合思想，即可解答.

(1) ①由外稱點的定義可知：到圓心的距離小于3且大于1，點才是的外稱點，

點D(-1，-1)，, 點D是的外稱點，

點E(2，0)，, 點E是的外稱點，

點F(0，4)，, 點F不是的外稱點，

故答案是：

②由點知，點G在一、三象限角平分線上，則點也在一、三象限角平分線上，

∴，

由外稱點的定義可知：,即,解得：

又，則

∴的取值范圍是：.

(2) ∵直線過點，代入求得：,

∴直線的解析式是：，則與軸交于點的坐標是(2，0)，與y軸交于點C的坐標是(0，2)，∴為等腰直角三角形，

當點在點B左側時，如圖1，離最遠的點為點B，依題意：，∴，

當與線段相切時，切點離為最近，如圖2：作于D，

∴為等腰直角三角形，

∴，則，∴依題意：

故當點在點B左側時，；

　

當點在點B右側時，如圖3，離最近的點為點B，依題意：，∴，

離最遠的點為點A，如圖4，依題意：，

由兩點之間距離公式：，

解得：(因為T在Ｂ右側，舍去)

故當點在點B右側時，

綜上所述，答案是：或