Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，點P是對角線AC上一動點(不與A、C 重合)，連接PB，過點P作PE⊥PB，交射線DC于點E，已知AD=3，sin∠BAC=.設AP的長為x.

(1)AB等于多少；當x=1時，等于多少；

(2)①試探究: 否是定值?若是，請求出這個值;若不是，請說明理由;

②連接BE，設△PBE的面積為S，求S的最小值.

Answer 1

【答案】（1） 4， ；（2）①是定值，；②

【解析】

（1）作PM⊥AB于M交CD于N．由△BMP∽△PNE，推出 ，只要求出PN、BM即可求解；
（2）①結論：的值為定值．證明方法類似（1）；
②利用勾股定理求出PB2，根據三角形的面積公式，利用二次函數的性質即可解決問題.

解：（1）作PM⊥AB于M交CD于N．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD=3，∠ABC=90°，
∴AC= =5，AB= =4．
在Rt△APM中，PA=1，PM= ，AM= ，
∴BM=AB-AM= ，
∵MN=AD=3，
∴PN=MN-PM= ，
∵∠PMB=∠PNE=∠BPE=90°，
∴∠BPM+∠EPN=90°，∠EPN+∠PEN=90°，
∴∠BPM=∠PEN，
∴△BMP∽△PNE，
∴ ，
故答案為4， ；
（2）①結論： 的值為定值．
理由：由PA=x，可得PM=x．AM=x，BM=4-x，PN=3-x，
∵△BMP∽△PNE，
∴ ；

②在Rt△PBM中，PB2=BM2+PM2=（4-x）2+（x）2=x2-x+16，
∵，
∴PE=PB，
∴S=PBPE=PB2=（x2-x+16）=（x-）2+ ，
∵0＜x＜5，
∴x=時，S有最小值=．

故答案為：（1）4， ；（2）①是定值，②x=時， =.