Question

14．已知如圖，點C是線段AB上一點，△ACM和△BCN都是等邊三角形．
（1）求證：AN=BM（如圖1）．
（2）連接DE，證明：△CDE是等邊三角形（如圖2）．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質證明△ACN≌△MCB（SAS），根據全等三角形的對應邊相等得到AN=BM；
（2）由△ACN≌△MCB，得到∠NAC=∠BMC，求出∠MCE=60°，證明△ACE≌MCE（ASA），得到CD=CE，所以△CDE是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形）．

解答 解：（1）∵△ACM、△BCN是等邊三角形
∴AC=MC，BC=NC
∠ACM=∠BCN=60°
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN
即∠ACN=∠MCB，
在△ACN與△MCB中$\left\{\begin{array}{l}{AC=MC}\\{∠ACN=∠MCB}\\{CN=CB}\end{array}\right.$
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．
（2）由（1）得：△ACN≌△MCB
∴∠NAC=∠BMC
又∵∠ACM=∠BCN=60°
∴∠MCE=60°
在△ACD與△MCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ANC=∠BMC}\\{AC=MC}\\{∠ACD=∠MCE}\end{array}\right.$
∴△ACE≌MCE（ASA），
∴CD=CE，
又∵∠MCE=60° 即∠DCE=60°
∴△CDE是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形）．

點評 本題考查等邊三角形的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，等邊三角形的判定與性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．