Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝mx＋k，與x軸，y軸分別交于點A，B，經過點A的拋物線y＝ax2＋bx﹣3a與x軸另一個交點為點D，AD＝4，將點B向右平移5個單位長度，得到點C．

（1）求點C的坐標（用k表示）；

（2）求拋物線的對稱軸；

（3）若拋物線的對稱軸在y軸右側，連接BD，BD比BO長1，拋物線與線段BC恰有一個公共點，求直線y＝mx＋k的解析式和a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C（5，k）；（2）x＝1或者x＝－1；（3）y＝4x＋4，或或a＝﹣1．

【解析】

（1）根據坐標軸上點的坐標特征可求點B的坐標，根據平移的性質可求點C的坐標；

（2）根據坐標軸上點的坐標特征可求點A的坐標，進一步求得拋物線的對稱軸；

（3）結合圖形，分三種情況：①a＞0；②a＜0，③拋物線的頂點在線段BC上；進行討論即可求解．

解：（1）與y軸交點：令x＝0代入直線y＝mx＋k得y＝k，

∴B（0，k），

∵點B向右平移5個單位長度，得到點C，

∴C（5，k）；

（2）令y＝0代入拋物線y＝ax2＋bx﹣3a得到x＝

∴A（，0），D（，0）

∵AD＝4

∴＝4

兩邊平方得到

b2－4a(﹣3a)＝16a2

解得 b＝－2a，b＝2a

∴拋物線的對稱軸x＝1或者x＝－1；

（3）∵拋物線的對稱軸在y軸右側

∴x＝﹣＝1 ．

∴拋物線y＝ax2－2ax﹣3a

∴點A（﹣1，0）點D（3，0）．

∵BO＝k，則BD＝k＋1

∴(k＋1)2＝k2＋32

∴k＝4

∵直線y＝mx＋k，與x軸，y軸分別交于點A，B

∴直線y＝4x＋4．

①a＞0時，如圖1，將x＝0代入拋物線得y＝﹣3a，

∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，

∴﹣3a＜4，a＞﹣，

將x＝5代入拋物線得y＝12a，

∴12a≥4，a≥，

∴a≥；

②a＜0時，如圖2，將x＝0代入拋物線得y＝﹣3a，

∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，

∴﹣3a＞4，a＜﹣；

將x＝5代入拋物線得y＝12a，

∴12a≤4，a≤，

∴a＜﹣．

③當拋物線的頂點在線段BC上時，則頂點為（1，4），

如圖3，將點（1，4）代入拋物線得4＝a﹣2a﹣3a，

解得a＝﹣1．

綜上所述，直線的解析式為y＝4x＋4，a的取值范圍為a≥或a＜﹣或a＝﹣1．