Question

【題目】已知：AB是⊙O的直徑，P是OA上一點，過點P作⊙O的非直徑的弦CD．

（1）若PA=2，PB=10，∠CPB=30°，求CD長；

（2）求證：PCPD=PAPB；

（3）設⊙O的直徑為8，若PC、PD是方程，求m的范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）連接OC，過點O作OE⊥CD于點E，先求出AB=12，可求OP=4，進而由直角三角形的性質可求OE的長，再由勾股定理可求EC的長，最后由垂徑定理可求解；

（2）連接AD、CB，通過證明，可得，即可得結論；

（3）由一元二次方程的根與系數關系，可求m的范圍．

（1）如下圖，連接OC，過點O作OE⊥CD于點E

∵PA=2，PB=10

∴AB= 12

∴OA=OB=OC=6

∴OP=4

∵∠CPB=30°，OE⊥CD

∴CE=DE，PO=2OE

∴OE=2

∵EC=

∴CD=

（2）如下圖：連接AD、CB

∵

∴∽

∴

∴

（3）∵PC、PD是方程的兩根

∴

∴

∵CD是非直徑的弦

∴

∴

∵PC、PD是方程的兩根

∴

∴或

∴