Question

【題目】如果一個自然數可以表示為兩個連續奇數的立方差，那么我們就稱這個自然數為“麻辣數”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均為“麻辣數”．

【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】

（1）請判斷98和169是否為“麻辣數”，并說明理由；

（2）在小組合作學習中，小明提出新問題：“求出在不超過2016的自然數中，所有的‘麻辣數’之和為多少？”小組的成員胡圖圖略加思索后說：“這個難不倒圖圖，我們知道奇數可以用2k+1表示…，再結合立方差公式…”，請你順著胡圖圖的思路，寫出完整的求解過程．

Answer 1

【答案】（1）不是（2）6860

【解析】

試題分析：（1）根據相鄰兩個奇數的立方差，可得答案；

（2）根據相鄰兩個奇數的立方差，麻辣數的定義，可得答案．

試題解析：設k為整數，則2k+1、2k﹣1為兩個連續奇數，

設M為“麻辣數”，

則M=（2k+1）3﹣（2k﹣1）3=24k2+2；

（1）98=53﹣33，故98是麻辣數；M=24k2+2是偶數，故169不是麻辣數；

（2）令M≤2016，則24k2+2≤2016，

解得k2≤＜84，

故k2=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，

故M的和為24×（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+2×10=6860．