Question

【題目】如圖，直線與x軸、y軸分別交于點B、C，對稱軸為的拋物線經過B、C兩點，與x軸的另一個交點為A，頂點為D、點P是該拋物線上的一個動點，過點P作軸于點E，分別交線段BD、BC于點F、G，設點P的橫坐標為．

求該拋物線所對應的函數關系式及頂點D的坐標；

求證：；；

當為等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】 ，D坐標為；證明見解析；證明見解析；t的值為或．

【解析】

（1）由拋物線特點求出A的坐標，再用待定系數法求出函數解析式，再求頂點坐標；（2）求直線DB所對應的函數關系式為．設點P的坐標為，則，，，．過點D作軸，垂足為點H，由等腰直角三角形性質得，，，所以，在中，；在中，．

分三種情況討論：

Ⅰ若則；

Ⅱ若則；

Ⅲ若則；

分別解方程可得.

解：直線與x軸、y軸的交點坐標分別為，．

拋物線的對稱軸為，

點A坐標為

設所求拋物線的函數關系式為，

把點代入，得，

解得．

所求拋物線的函數關系式為：，即．

該拋物線的頂點D的坐標為．

，．

易得直線DB所對應的函數關系式為．

設點P的坐標為，則，，

，．

，即．

過點D作軸，垂足為點H，如圖．

點D、C的坐標分別為、，

是等腰直角三角形，．

是等腰直角三角形，．

是直角三角形，且，，．

在中，．

在中，．

．

分三種情況討論：

Ⅰ若則，

整理得，

解得，舍去．

Ⅱ若則，

整理得，

解得，．

，

這種情況不存在．

Ⅲ若則，

整理得，

解得，．

，

不符合題意，舍去．

綜上所述，當為等腰三角形時，t的值為或．