Question

【題目】在平面直角坐標系中，把與軸交點相同的二次函數圖像稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線的頂點為，交軸于點、（點在點左側），交軸于點．拋物線與是“共根拋物線”，其頂點為．

（1）若拋物線經過點，求對應的函數表達式；

（2）當的值最大時，求點的坐標；

（3）設點是拋物線上的一個動點，且位于其對稱軸的右側．若與相似，求其“共根拋物線”的頂點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點；（3）或或或

【解析】

（1）由“共根拋物線”定義可知拋物線經過拋物線與x軸交點，故根據拋物線可求AB兩點坐標進而由交點式設為，將點代入，即可求出解；

（2）由拋物線對稱性可知PA=PB，∴，根據三角形兩邊之差小于第三邊可知當當、、三點共線時，的值最大，而P點在對稱軸為上，由此求出點P坐標；

（3）根據點ABC坐標可證明△ABC為直角三角形，與相似，分兩種情況討論：當、時，分別利用對應邊成比例求解即可．

解：（1）當時，，解得，．

∴、、．

由題意得，設對應的函數表達式為，

又∵經過點，

∴，

∴．

∴對應的函數表達式為．

（2）∵、與軸交點均為、，

∴、的對稱軸都是直線．

∴點在直線上．

∴．

如圖1，當、、三點共線時，的值最大，

此時點為直線與直線的交點．

由、可求得，直線對應的函數表達式為．

∴點．

（3）由題意可得，，，，

因為在中，，故．

由，得頂點．

因為的頂點P在直線上，點Q在上，

∴不可能是直角．

第一種情況：當時，

①如圖2，當時，則得．

設，則，

∴．

由得，解得．

∵時，點Q與點P重合，不符合題意，

∴舍去，此時．

②如圖3，當時，則得．

設，則．

∴．

由得，解得（舍），此時．

第二種情況：當時，

①如圖4，當時，則得．

過Q作交對稱軸于點M，∴．

∴．由圖2可知，

∴．

∴，又，代入得．

∵點，

∴點．

②如圖5，當時，則．

過Q作交對稱軸于點M，

∴，則．

由圖3可知，，

∴，，

∴．

又，代入得．

∵點，

∴點，

綜上所述，或或或．