Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且CP＝CB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若OA＝5，OP＝3，求CB的長；

（3）設△AOP的面積是S1，△BCP的面積是S2，且．若⊙O的半徑為4，BP＝，求tan∠CBP．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）連接OB，由OP⊥OA，得∠A+∠APO＝90°；由CP＝CB，得∠CBP＝∠CPB；再由OA＝OB，得∠A＝∠OBA，而∠CPB＝∠APO，整理變形可得∠OBC＝90°，即BC是⊙O的切線；

（2）設BC＝x，則PC＝x，在Rt△OBC中，由勾股定理可得關于x的方程

52+x2＝（x+3）2，解方程即可求出CB的長；

（3）作CD⊥BP于D，由PC＝PB，得PD＝BD＝PB＝，易證△AOP∽△PCD，則由，可得，即，由此可求CD的長，再在Rt△BCD中，按照正切定義求出tan∠CBP即可.

（1）證明：連接OB，如圖，

∵OP⊥OA，

∴∠AOP＝90°，

∴∠A+∠APO＝90°，

∵CP＝CB，

∴∠CBP＝∠CPB，

而∠CPB＝∠APO，

∴∠APO＝∠CBP，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∴∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：設BC＝x，則PC＝x，

在Rt△OBC中，OB＝OA＝5，OC＝CP+OP＝x+3，

∵OB2+BC2＝OC2，

∴52+x2＝（x+3）2，

解得x＝，

即BC的長為；

（3）解：如圖，作CD⊥BP于D，

∵PC＝PB，

∴PD＝BD＝PB＝，

∵∠PDC＝∠AOP＝90°，∠APO＝∠CPD，

∴△AOP∽△PCD，

∵，

∴，

∴，

∵OA＝4，

∴CD＝，

∴tan∠CBP＝＝2．