Question

【題目】已知拋物線經過點，點，直線，直線，直線經過拋物線的頂點，且與相交于點，直線與軸、軸分別交于點、，若把拋物線上下平移，使拋物線的頂點在直線上（此時拋物線的頂點記為），再把拋物線左右平移，使拋物線的頂點在直線上（此時拋物線的頂點記為）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）判斷以點為圓心，半徑長為4的圓與直線的位置關系，并說明理由．

（3）設點、在直線上（點在點的下方），當與相似時，求、的坐標（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）相離，理由詳見解析；（3）、或、或、

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入即可求出解析式；

（2）求出點N、C的坐標，計算NC的長度即可求解；

（3）分點F在直線下方，上方兩種情況求解.

（1）將點A、B的坐標代入，得，

解得： ，

∴拋物線的解析式為；

（2）∵，

∴頂點坐標是（2,2），

將點P的坐標代入直線中，得2k=2，即k=1，

∴直線的解析式是y=x，

設點M（2，m），代入直線的解析式中，得m=-4，

∴點M的坐標是（2，-4），

設點N的坐標是（n，-4），代入的解析式中，得n=-4，

∴點N的坐標是（-4，-4），

同理：D（-2,0），E（0，-2），

聯立、得，得，

∴C（-1，-1），

∴OC=，

∴,

∵點C在直線y=x上，

∴∠COE=∠OEC=45°，

∴∠OCE=90°，即NC⊥,

∵NC=

∴以點為圓心，半徑長為4的圓與直線相離；

（3）①當點F在直線下方時，

設，

∵點A、B的坐標分別為（0,6），（1,3），

∴AO=6，AB=BO=,

過點B作BL⊥y軸于L，則，，

∴OK=,

∴,

∵等腰△MHF和等腰△OAB相似，

∴∠HFM=∠ABO，則∠KBO=∠OFM=，

∵C(-1，-1)，M(2，-4)，

∴,， ，

∴,

∴F(-5，-5)，

∵FH=FM=，OH=OF+FH=,

∴H(-10，-10)；

②當點F在直線上方時，

同理可得點F的坐標為（8,8），點H的坐標為（3,3）或（-10,-10）；

綜上，、或、或、