Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的⊙O經過點C，連接 AC、OD交于點E．

(1)若tan∠ABC=2，證明：DA與⊙O相切：

(2)在(1)條件下，連接BD交⊙O于點F，連接EF，若BC=1，求EF的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）EF=

【解析】

（1）連接OC，證△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由AB為直徑知BC⊥AC，從而證明OD∥BC；再根據tan∠ABC=2可設BC=a、則AC=2a、AD=AB=，證OE為中位線知OE=a、AE=CE=AC=a，進一步求得DE=，再在△AOD中利用勾股定理逆定理證∠OAD=90°即可得；

（2）先證△AFD∽△BAD得DFBD=AD2 ①，再證△AED∽△OAD得ODDE=AD2 ②，由①②得DFBD=ODDE，即，結合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，據此可得，結合（1）可得相關線段的長，代入計算可得．

解：（1）連接OC，

在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO=∠CDO，
又AD=CD，
∴DE⊥AC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC，

∵tan∠ABC=，

∴設BC=a、則AC=2a，
∴AD=AB=，

∵OE∥BC，且AO=BO，
∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a，

在△AED中，DE=，

在△AOD中，AO2+AD2=（）2+（）2=，

OD2=（OE+DE）2=（a+2a）2=，

∴AO2+AD2=OD2，
∴∠OAD=90°，
則DA與⊙O相切；

（2）連接AF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFD=∠BAD=90°，
∵∠ADF=∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴，即DFBD=AD2 ①，
又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴，即ODDE=AD2 ②，
由①②可得DFBD=ODDE，即，

又∵∠EDF=∠BDO，
∴△EDF∽△BDO，
∵BC=1，
∴AB=AD=，OD=，ED=2，BD=，OB=，

∴，即，

解得：EF=.