Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，點P從點C出發沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回，點Q從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB﹣BC﹣CP于點E．點P、Q同時出發，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．

（1）當t=2時，AP= ，點Q到AC的距離是 ；

（2）在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數關系式；（不必寫出t的取值范圍）

（3）在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值；若不能，請說明理由；

（4）當DE經過點C時，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】(1)1，；(2)S=﹣t2+t；(3)能．t=或；(4)t=或t=．

【解析】

試題分析：（1）先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距離；（2）過點Q作QF⊥AC于點F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S與t的函數解析式；（3）當DE∥QB時，得四邊形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由線段的對應比例關系求得t，由PQ∥BC，四邊形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由線段的對應比例關系求t；（4）①第一種情況點P由C向A運動，DE經過點C、連接QC，作QG⊥BC于點G，由PC2=QC2解得t；②第二種情況，點P由A向C運動，DE經過點C，由圖列出相互關系，求解t．

試題解析：（1）如圖1，過點Q作QF⊥AC于點F，

∵AC=3，點P從點C出發沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，

∴當t=2時，AP=3﹣2=1；在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．∴BC=4，∵QF⊥AC，BC⊥AC，∴QF∥BC，∴△ACB∽△AFQ，∴，∴=，解得：QF=；故答案為：1，；（2）如圖1，過點Q作QF⊥AC于點F，如圖1，AQ=CP=t，∴AP=3﹣t．由△AQF∽△ABC，得=．∴QF=t．∴S=（3﹣t）t，即S=﹣t2+t；（3）能成為直角梯形．①當由△APQ∽△ABC，DE∥QB時，如圖2．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形，此時∠AQP=90°．由△APQ∽△ABC，得，即．解得t=；②如圖3，

當PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．此時∠APQ=90°．由△AQP∽△ABC，得，即．解得t=，綜上所述：在點E從B向C運動的過程中，當t=或時，四邊形QBED能成為直角梯形；（4）①點P由C向A運動，DE經過點C．連接QC，作QG⊥BC于點G，如圖4．

∵sinB===，∴QG=（5﹣t），同理BG=（5﹣t），∴CG=4﹣（5﹣t），∴PC=t，QC2=QG2+CG2=[（5﹣t）]2+[4﹣（5﹣t）]2．∵CD是PQ的中垂線，∴PC=QC，則PC2=QC2，得t2=[（5﹣t）]2+[4﹣（5﹣t）]2，解得t=；②點P由A向C運動，DE經過點C，如圖5．

可知PC=6﹣t，QC2=QG2+CG2，由PC2=QC2可知：（6﹣t）2=[（5﹣t）]2+[4﹣（5﹣t）]2，即t=．綜上所述：t=或t=．