Question

4．如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A，C的坐標分別為（3，0），（0，l），點D是線段BC上的動點（與端點B，C不重合），過點D作直線y=-$\frac{1}{2}$x+b交折線OAB于點E．
（1）若點E在AB邊上，求b的取值范圍；
（2）記△ODE的面積為S，求S與b的函數關系式；
（3）求（2）中S的最大值；
（4）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O₁A₁B₁C₁，試探究O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積是否發生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，將A、B點坐標代入，可得答案；
（2）要表示出△ODE的面積，要分兩種情況討論，①如果點E在OA邊上，只需求出這個三角形的底邊OE長（E點橫坐標）和高（D點縱坐標），代入三角形面積公式即可；②如果點E在AB邊上，這時△ODE的面積可用長方形OABC的面積減去△OCD、△OAE、△BDE的面積；
（3）根據函數的最值在函數圖象的端點，可得答案；
（4）重疊部分是一個平行四邊形，由于這個平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個平行四邊形落在OA邊上的線段長度是否變化

解答 解：（1））∵四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），C（0，1），
∴B（3，1）．
若直線經過點A（3，0）時，則b=$\frac{3}{2}$，
若直線經過點B（3，1）時，則b=$\frac{5}{2}$．
點E在AB邊上，b的取值范圍是$\frac{3}{2}$≤b≤$\frac{5}{2}$；
（2）∵四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直線經過點A（3，0）時，則b=$\frac{3}{2}$
若直線經過點B（3，1）時，則b=$\frac{5}{2}$
若直線經過點C（0，1）時，則b=1
①若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1＜b≤$\frac{3}{2}$，如圖1：
，
此時E（2b，0）
∴S=$\frac{1}{2}$OE•CO=$\frac{1}{2}$×2b×1=b；
②若直線與折線OAB的交點在BA上時，即$\frac{3}{2}$＜b＜$\frac{5}{2}$，如圖2：
，
此時E（3，b-$\frac{3}{2}$），D（2b-2，1），
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）
=3-[$\frac{1}{2}$（2b-2）×1+$\frac{1}{2}$×3（b-$\frac{3}{2}$）+$\frac{1}{2}$×（5-2b）•（$\frac{5}{2}$-b）]
=$\frac{5}{2}$b-b²，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{b（1＜b≤\frac{3}{2}）}\\{\frac{5}{2}b-^{2}（\frac{3}{2}＜b＜\frac{5}{2}）}\end{array}\right.$；
（3）當1＜b≤$\frac{3}{2}$時，S_最大=$\frac{3}{2}$；
當$\frac{3}{2}$＜b＜$\frac{5}{2}$時，S=-（b-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{25}{16}$，
當b=$\frac{3}{2}$時，S_最大=-$\frac{1}{16}$+$\frac{25}{16}$=$\frac{3}{2}$，
綜上所述：當b=$\frac{3}{2}$時，S_最大=-$\frac{1}{16}$+$\frac{25}{16}$=$\frac{3}{2}$；
（4）如圖3：
，
設O₁A₁與CB相交于點M，OA與C₁B₁相交于點N，則矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．
由題意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四邊形DNEM為平行四邊形
根據軸對稱知，∠MED=∠NED
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四邊形DNEM為菱形．
過點D作DH⊥OA，垂足為H，設菱形DNEM的邊長為a，
由題意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
則在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a=$\frac{5}{4}$，
∴S_{四邊形DNEM}=NE•DH=$\frac{5}{4}$．
∴矩形OA₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積不發生變化，面積始終為$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了一次函數綜合題，本題是一個動態圖形中的面積是否變化的問題，看一個圖形的面積是否變化，關鍵是看決定這個面積的幾個量是否變化，本題題型新穎，是個不可多得的好題，有利于培養學生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區分度．