Question

【題目】如圖1，已知在平面直角坐標系中，四邊形是矩形點分別在軸和軸的正半軸上，連結，，，是的中點.

(1)求OC的長和點的坐標；

(2)如圖2，是線段上的點，，點是線段上的一個動點，經過三點的拋物線交軸的正半軸于點，連結交于點

①將沿所在的直線翻折，若點恰好落在上，求此時的長和點的坐標；

②以線段為邊，在所在直線的右上方作等邊，當動點從點運動到點時，點也隨之運動，請直接寫出點運動路徑的長.

Answer 1

【答案】(1) OC=，點的坐標為；(2) ①點的坐標為，②.

【解析】

（1）由OA=3，tan∠OAC=，得OC= ，由四邊形OABC是矩形，得BC=OA=3，所以CD= BC= ，求得D（）；
（2）①由易知得ACB=∠OAC=30°，設將△DBF沿DE所在的直線翻折后，點B恰好落在AC上的B'處，則DB'=DB=DC，∠BDF=∠B'DF，所以∠BDB'=60°，∠BDF=∠B'DF=30°，所以BF=BDtan30°=，AF=BF=，因為∠BFD=∠AEF，所以∠B=∠FAE=90°，因此△BFD≌△AFE，AE=BD=，點E的坐標（ ，0）；
②動點P在點O時，求得此時拋物線解析式為y=，因此E（，0），直線DE： ，F1（3，）；當動點P從點O運動到點M時，求得此時拋物線解析式為，所以E（6，0），直線DE：

，所以F2（3，）；所以點F運動路徑的長為，即G運動路徑的長為 ．

(1) ∵，

∴.

∵四邊形是矩形，

∴.

∵是的中點，

∴，

∴點的坐標為.

(2) ①∵，

∴，

∴.

設將翻折后，點落在上的處，

則，

∴，

∴，

∴.

∵，

∴.

∵，

∴，

∵，

∴.

∴.

∴，∴點的坐標為.

②動點P在點O時，
∵拋物線過點P（0，0）、

求得此時拋物線解析式為y=

∴E（，0），
∴直線DE： ，
∴F1（3，）；
當動點P從點O運動到點M時，
∵拋物線過點

求得此時拋物線解析式為，
∴E（6，0），
∴直線DE：y=-

∴F2（3，）

∴點F運動路徑的長為，
∵△DFG為等邊三角形，
∴G運動路徑的長為