Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AC是對角線，∠ABC＝∠CDA＝90°，BC＝CD，延長BC交AD的延長線于點E．

（1）求證：AB＝AD；

（2）若AE＝BE+DE，求∠BAC的值；

（3）過點E作ME∥AB，交AC的延長線于點M，過點M作MP⊥DC，交DC的延長線于點P，連接PB．設PB＝a，點O是直線AE上的動點，當MO+PO的值最小時，點O與點E是否可能重合？若可能，請說明理由并求此時MO+PO的值（用含a的式子表示）；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）22.5°；（3）當MO+PO的值最小時，點O與點E可以重合，見解析，4a

【解析】

（1）證明Rt△ABC≌Rt△ADC即可；

（2）通過等量代換得出△ABE是等腰直角三角形，再由邊角關系得出∠BAC的度數即可；

（3）根據題意畫出圖形，由現有條件得出MC平分∠PME，再根據角平分線的性質得出PC＝EC，根據軸對稱知識得出點M、點E、點P關于直線AE的對稱點Q，這三點共線，也即MO+PO的值最小時，點O與點E重合，最后通過邊角運算得出最小值即可．

（1）證明：∵∠ABC＝∠CDA＝90°，

∵BC＝CD，AC＝AC，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．

∴AB＝AD．

（2）解：∵AE＝BE+DE，

又∵AE＝AD+DE，

∴AD＝BE．

∵AB＝AD，

∴AB＝BE．

∴∠BAD＝∠BEA．

∵∠ABC＝90°，

∴∠BAD═45°．

∵由（1）得△ABC≌△ADC，

∴∠BAC＝∠DAC．

∴∠BAC═22.5°．

（3）解：當MO+PO的值最小時，點O與點E可以重合，理由如下：

∵ME∥AB，

∴∠ABC＝∠MEC＝90°，∠MAB＝∠EMA．

∵MP⊥DC，

∴∠MPC＝90°．

∴∠MPC＝∠ADC＝90°．

∴PM∥AD．

∴∠EAM＝∠PMA．

由（1）得，Rt△ABC≌Rt△ADC，

∴∠EAC＝∠MAB，

∴∠EMA＝∠AMP．即MC平分∠PME．

又∵MP⊥CP，ME⊥CE，

∴PC＝EC．

如圖，連接PB，連接PE，延長ME交PD的延長線于點Q．

設∠EAM＝α，則∠MAP＝α．

在Rt△ABE中，∠BEA＝90°﹣2α．

在Rt△CDE中，∠ECD＝90°﹣∠BEA＝2α．

∵PC＝EC，

∴∠PEB＝∠EPC＝∠ECD＝α．

∴∠PED＝∠BEA+∠PEB＝90°﹣α．

∵ME∥AB，

∴∠QED＝∠BAD＝2α．

當∠PED＝∠QED時，

∵∠PDE＝∠QDE，DE＝DE，

∴△PDE≌△QDE（ASA）．

∴PD＝DQ．

即點P與點Q關于直線AE成軸對稱，也即點M、點E、點P關于直線AE的對稱點Q，這三點共線，也即MO+PO的值最小時，點O與點E重合．

因為當∠PED＝∠QED時，90°﹣α＝2α，也即α＝30°．

所以，當∠ABD＝60°時，MO+PO取最小值時的點O與點E重合．

此時MO+PO的最小值即為ME+PE．

∵PC＝EC，∠PCB＝∠ECD，CB＝CD，

∴△PCB≌△ECD（SAS）．

∴∠CBP＝∠CDE＝90°．

∴∠CBP+∠ABC＝180°．

∴A，B，P三點共線．

當∠ABD＝60°時，在△PEA中，

∠PAE＝∠PEA＝60°．

∴∠EPA＝60°．

∴△PEA為等邊三角形．

∵EB⊥AP，

∴AP＝2AB＝2a．

∴EP＝AE＝2a．

∵∠EMA＝∠EAM＝30°，

∴EM＝AE＝2a．

∴MO+PO的最小值為4a．