Question

17．如圖，BE⊥AC、CF⊥AB于點E、F，BE與CF交于點D，DE=DF，連接AD．
（1）求證：∠FAD=∠EAD；
（2）連接BC，判斷線段AD與線段BC的關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由角平分線的判定方法得出∠FAD=∠EAD即可；
（2）延長AD交BC于M，證出∠ABD=∠ACD，由AAS證明△ABD≌△ACD，得出AB=AC，由等腰三角形的三線合一性質即可得出結論．

解答 （1）證明：∵BE⊥AC、CF⊥AB于點E、F，DE=DF，
∴AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD；
（2）解：AD垂直平分BC，理由如下：
延長AD交BC于M，如圖所示：
∵BE⊥AC、CF⊥AB于點E、F，
∴∠ABD+∠BAE=90°，∠ACD+∠BAE=90°，
∴∠ABD=∠ACD，
在△ABD和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠EAD}&{\;}\\{∠ABD=∠ACD}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB=AC，
∵∠FAD=∠EAD，
∴AD垂直平分BC．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的判定方法、等腰三角形的判定與性質；熟練掌握等腰三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．