Question

6．如圖，過△OAB的頂點O作⊙O，與OA，OB邊分別交于點C，D，與AB邊交于M，N兩點，且CD∥AB，已知OC=3，CA=2．
（1）求OB的長；
（2）若∠A=30°，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）由OC=OD，CD∥AB，易證得△OAB是等腰三角形，繼而求得答案；
（2）首先過點O作OE⊥MN于點E，連接OM，由∠A=30°，易求得OE的長，然后由勾股定理求得ME的長，再利用垂徑定理的知識，求得MN的長．

解答 解：（1）∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵CD∥AB，
∴∠A=∠OCD，∠B=∠ODC，
∴∠A=∠B，
∴OB=OA=OC+CA=3+2=5；

（2）過點O作OE⊥MN于點E，連接OM，
∵∠A=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$，
∴在Rt△OEM中，ME=$\sqrt{O{M}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
∴MN=2ME=$\sqrt{11}$．

點評 此題考查了垂徑定理、等腰三角形的判定與性質以及勾股定理．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．