【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=﹣1,且拋物線經過 A(1,0),C(0,3)兩點,與x軸交于點B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求此時點M的坐標;
(3)設點P為拋物線對稱軸x=﹣1上的一個動點,求使△BPC為直角三角形的點P的坐標.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)當點M的坐標為(﹣1,2)時,點M到點A和點C的距離之和最小;(3)P(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1,)或(﹣1,
).
【解析】
(1)根據對稱軸公式及A、C兩點坐標代入即可求出拋物線的解析式;
(2)根據兩條線段之和最短時的作圖方法找到M即可,然后利用B、C的坐標求出直線BC的解析式,利用BC和對稱軸即可求出M的坐標;
(3)設P(﹣1,t),根據平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式,即可表示出CB2,PB2和PC2,然后根據直角頂點分類討論,利用勾股定理求t即可.
解:(1)根據題意得:,解得:
,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣2x+3.
(2)點A的對稱點為B,連接BC,直線BC與對稱軸x=﹣1的交點為M,則此時AM+MC的值最小.
∵點A與點B關于x=﹣1對稱,A(1,0),
∴B(﹣3,0).
設BC的解析式為y=mx+n,將點B和點C的坐標代入得:,解得:m=1,n=3.
∴直線BC的解析式為y=x+3.
將x=﹣1代入y=x+3得:y=2,
∴M(﹣1,2).
∴當點M的坐標為(﹣1,2)時,點M到點A和點C的距離之和最。
(3)設P(﹣1,t).
∵P(﹣1,t),B(﹣3,0),C(0,3),
∴CB2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=t2+4,PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10.
①當點B為直角頂點時,則BC2+PB2=PC2,即18+t2+4=t2﹣6t+10,解得t=﹣2,
∴P(﹣1,﹣2).
②當點C為直角頂點時,BC2+PC2=PB2,即18+t2﹣6t+10=t2+4,解得t=4,
∴P(﹣1,4).
③當點P為直角頂點時,PC2+PB2=BC2,即t2+4+t2﹣6t+10=18,解得:t=或t=
,
∴P(﹣1,)或(﹣1,
).
綜上所述,點P的坐標為P(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1,)或(﹣1,
).
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【題目】已知一次函數和反比例函數
.
(1)如圖1,若,且函數
、
的圖象都經過點
.
①求,
的值;
②直接寫出當時
的范圍;
(2)如圖2,過點作
軸的平行線
與函數
的圖象相交于點
,與反比例函數
的圖象相交于點
.
①若,直線
與函數
的圖象相交點
.當點
、
、
中的一點到另外兩點的距離相等時,求
的值;
②過點作
軸的平行線與函數
的圖象相交于點
.當
的值取不大于1的任意實數時,點
、
間的距離與點
、
間的距離之和
始終是一個定值.求此時
的值及定值
.
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【題目】如圖,已知ABCD中,AB=16,AD=10,sinA=,點M為AB邊上一動點,過點M作MN⊥AB,交AD邊于點N,將∠A沿直線MN翻折,點A落在線段AB上的點E處,當△CDE為直角三角形時,AM的長為_____.
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【題目】如圖,若m是正數,直線l:y=-m與y軸交于點A;直線a:y=x+m與y軸交于點B;拋物線L:y= x2+mx的頂點為C,且L與x軸左交點為D.
(1)若AB=12,求m的值,此時在拋物線的對稱軸上存在一點P使得△的周長最小,求點P坐標;
(2)當點C在直線l上方時,求點C與直線l距離的最大值;
(3)在拋物線L和直線a所圍成的封閉圖形的邊界上,把橫、縱坐標都是整數的點稱為“美點”,分別直接寫出m=2020和m=2020.5時“美點”的個數.
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【題目】瑪麗和馮剛做一種游戲,在一個不透明的布袋里裝有4個大小、質地均相同小球,球上分別標有數字1、2、3、4,隨機從布袋中摸出一個小球,記下數字后放回布袋里,再隨機從布袋中摸出一個小球,若這兩個小球上的數字之和能被2整除的概率大則瑪麗贏;若兩個小球上的數字之和能被3整除的概率大則馮剛贏。這個游戲雙方公平嗎?請列表格或畫樹狀圖說明理由.
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【題目】東東玩具商店用500元購進一批悠悠球,很受中小學生歡迎,悠悠球很快售完,接著又用900元購進第二批這種悠悠球,所購數量是第一批數量的1.5倍,但每套進價多了5元.
(1)求第一批悠悠球每套的進價是多少元;
(2)如果這兩批悠悠球每套售價相同,且全部售完后總利潤不低于25%,那么每套悠悠球的售價至少是多少元?
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【題目】如圖,沿水庫攔水壩的背水坡將壩頂加寬2米,坡度由原來的改為
.已知壩高8米,壩長為60米.
求:(1)加寬部分橫斷面的面積;
(2)完成這一工程需要多少立方米土?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側),與y軸交于點C.
(1)求出△ABC的周長.
(2)在直線BC上方有一點Q,連接QC、QB,當△QBC面積最大時,一動點P從Q出發,沿適當路徑到達y軸上的M點,再沿與對稱軸垂直的方向到達對稱軸上的N點,連接BN,求QM+MN+BN的最小值.
(3)在直線BC上找點G,K是平面內一點,在平面內是否存在點G,使以O、C、G、K為頂點的四邊形是菱形?若存在,求出K的坐標;若不存在,請說明理由.
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