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【題目】如圖,已知拋物線yax2+bx+ca≠0)的對稱軸為x=﹣1,且拋物線經過 A10),C03)兩點,與x軸交于點B

1)求拋物線的解析式;

2)在拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求此時點M的坐標;

3)設點P為拋物線對稱軸x=﹣1上的一個動點,求使△BPC為直角三角形的點P的坐標.

【答案】1y=﹣x22x+3;(2)當點M的坐標為(﹣12)時,點M到點A和點C的距離之和最小;(3P(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1,)或(﹣1,).

【解析】

1)根據對稱軸公式及A、C兩點坐標代入即可求出拋物線的解析式;

2)根據兩條線段之和最短時的作圖方法找到M即可,然后利用B、C的坐標求出直線BC的解析式,利用BC和對稱軸即可求出M的坐標;

3)設P(﹣1t),根據平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式,即可表示出CB2,PB2PC2,然后根據直角頂點分類討論,利用勾股定理求t即可.

解:(1)根據題意得:,解得:,

∴拋物線的解析式為:y=﹣x22x+3

2)點A的對稱點為B,連接BC,直線BC與對稱軸x=﹣1的交點為M,則此時AM+MC的值最小.

∵點A與點B關于x=﹣1對稱,A10),

B(﹣3,0).

BC的解析式為ymx+n,將點B和點C的坐標代入得:,解得:m1,n3

∴直線BC的解析式為yx+3

x=﹣1代入yx+3得:y2

M(﹣1,2).

∴當點M的坐標為(﹣1,2)時,點M到點A和點C的距離之和最。

3)設P(﹣1,t).

P(﹣1,t),B(﹣3,0),C0,3),

CB218PB2=(﹣1+32+t2t2+4,PC2=(﹣12+t32t26t+10

①當點B為直角頂點時,則BC2+PB2PC2,即18+t2+4t26t+10,解得t=﹣2,

P(﹣1,﹣2).

②當點C為直角頂點時,BC2+PC2PB2,即18+t26t+10t2+4,解得t4,

P(﹣14).

③當點P為直角頂點時,PC2+PB2BC2,即t2+4+t26t+1018,解得:tt,

P(﹣1,)或(﹣1).

綜上所述,點P的坐標為P(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1,)或(﹣1,).

練習冊系列答案
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