Question

4．甲、乙兩人同時開車從A地出發，沿同一條道路去B地，途中都以兩種不同的速度V₁與V₂（V₁＞V₂）行駛．甲前一半路程以速度V₁勻速行駛，后一半路程以速度V₂勻速行駛；乙前一半時間以速度勻速V₂行駛，后一半時間用以速度V₁勻速行駛．
（1）設甲乙兩人從A地到B地的平均速度分別為V_甲和V_乙，則V_甲=$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$；V_乙=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$（用含V₁、V₂的式子表示）． 
（2）甲、乙兩人乙（填甲或乙）先到達B地．
（3）如圖是甲、乙二人從A地到B地的路程S（千米）和時間t（小時）之間的函數圖象．請你求出：
①S、V₁、V₂的值．
②甲乙出發后幾小時在途中相遇？

Answer 1

分析 （1）根據甲、乙從A地到B地的平均速度=總路程÷總時間，即可求得；
（2）相同的路程，速度大的先到達B地，故只需比較甲、乙速度大小即可；
（3）①由題意可知，乙行駛全程需4小時，前半時間即2小時，可求v₂，
根據甲行駛總路程=乙行駛總路程列方程可得v₁，將甲行駛一半路程乘以2可得總路程S；
②甲、乙途中相遇可得甲行駛路程=乙行駛路程，列方程可求時間t．

解答 解：（1）設A、B兩地間的路程為2S，乙從A到B所用總時間為2t，
${V}_{甲}=\frac{2s}{\frac{s}{{v}_{1}}+\frac{s}{{v}_{2}}}=\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$，${V}_{乙}=\frac{{v}_{1}t+{v}_{2}t}{2t}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$；
（2）${V}_{乙}-{V}_{甲}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}-\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$
=$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）^{2}}{2（{v}_{1}+{v}_{2}）}-\frac{4{v}_{1}{v}_{2}}{2（{v}_{1}+{v}_{2}）}$
=$\frac{（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{2（{v}_{1}+{v}_{2}）}$
∵v₁＞v₂
∴V_乙-V_甲＞0，乙先到達B地；
（3）①由（2）知乙先到達B地，結合函數圖象乙行駛全程需要4小時，
∴乙行駛一半時間（2小時）開了100千米，則v₂=100÷2=50（千米/小時），
根據題意，得：2v₁+100=1.5v₁×2，解得v₁=100（千米/小時），
A地到B地的路程S=2v₁+100=2×100+100=300（千米），
故v₁=100，v₂=50，S=300；
  ②結合函數圖象可知甲乙出發后在途中相遇時已過路程中點或時間中點，
∴根據題意有，150+50（t-1.5）=2×50+100（t-2），
解得t=3.5．
甲乙出發后3.5小時在途中相遇．

點評 本題重點考查了一次函數的實際應用和函數圖象相結合的問題，還考查了方程的應用，屬中檔題．