Question

【題目】在矩形中，連結，點E從點B出發，以每秒1個單位的速度沿著的路徑運動，運動時間為t（秒）．過點E作于點F，在矩形的內部作正方形．

（1）如圖，當時，

①若點H在的內部，連結、，求證：；

②當時，設正方形與的重疊部分面積為S，求S與t的函數關系式；

（2）當，時，若直線將矩形的面積分成1︰3兩部分，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②；（3）t的值為或或．

【解析】

（1）①如圖1中，證明即可解決問題．

②分兩種情形分別求解：如圖1中，當時，重疊部分是正方形．如圖2中，當時，重疊部分是五邊形．

（2）分三種情形分別求解：①如圖3﹣1中，延長交于M，當時，直線將矩形的面積分成1︰3兩部分．②如圖3﹣2中，延長交于M交的延長線于K，當時，直線將矩形的面積分成1︰3兩部分．③如圖3﹣3中，當點E在線段上時，延長交于M，交的延長線于N．當時，直線將矩形的面積分成1︰3兩部分．

解：（1）①如圖1中，

∵四邊形是正方形，，

∴，，，

∴，

∵，

∴，

∴．

②如圖1中，當時，重疊部分是正方形，．

如圖2中，當時，重疊部分是五邊形，．

綜上所述，．

（2）如圖3﹣1中，延長交于M，當時，直線將矩形的面積分成1︰3兩部分．

∵，

∴，

∴，

∴．

如圖3﹣2中，延長交于M交的延長線于K，當時，直線將矩形的面積分成1︰3兩部分，易證，

∵，

∴，

∴，

∴．

如圖3﹣3中，當點E在線段上時，延長交于M，交的延長線于N．當時，直線將矩形的面積分成1︰3兩部分，易證．

在中，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得．

綜上所述，滿足條件的t的值為或或．