Question

【題目】在平面直角坐標系中，我們把經過同一點的所有直線稱為過這一點的直線束，如下圖，所有經過點P的直線，稱為過點P的直線束．

例如：直線y＝kx，當k取不同實數時，在圖象上可以得到過原點（0，0）的直線束，這個直線束的一般表達式為y＝kx．

（1）當k取不同實數時，y＝kx﹣3是過點（　 　，　 　）的直線束；

（2）當k取什么實數時，直線束y＝kx﹣3中的直線與x軸、y軸圍成的三角形面積為3？

（3）當k取什么實數時，直線束y＝kx﹣2k+3中的直線與x軸、y軸圍成的三角形面積為12？

Answer 1

【答案】（1）（0，﹣3）；（2）當k取或﹣時，直線束y＝kx﹣3中的直線與x軸、y軸圍成的三角形面積為3；（3）當k＝或k＝﹣時，直線束y＝kx﹣2k+3中的直線與x軸、y軸圍成的三角形面積為12．

【解析】

（1）當x=0時，y=-3，可以確定y=kx-3是過點(0,-3)的直線束；
（2）中分別求出直線束與x軸、y軸的交點坐標，再由直線與坐標軸圍成的三角形是直角三角形，根據直角三角形的面積求法，列出相應的等式，進而求出滿足條件的值；

（3）和（2）方法相同．

解：（1）∵y＝kx﹣3，當x＝0時，y＝﹣3，

∴直線y＝kx﹣3恒經過點（0，﹣3），

∴當k取不同實數時，y＝kx﹣3是過點（ 0，﹣3）的直線束，

故答案為（0，﹣3）；

（2）在y＝kx﹣3中，令y＝0，則x＝；令x＝0，則y＝﹣3，

∴直線束y＝kx﹣3中的直線與x軸、y軸的交點為（，0），（0，﹣3），

∵圍成的三角形面積為3，

∴||×3＝3，

解得：k＝±，

∴當k取或﹣時，直線束y＝kx﹣3中的直線與x軸、y軸圍成的三角形面積為3；

（3）在直線束y＝kx﹣2k+3中，令y＝0，則x＝；令x＝0，則y＝﹣2k+3，

∴直線束y＝kx﹣2k+3中的直線與x軸、y軸的交點為（，0），（0，﹣2k+3），

∵圍成的三角形面積為12，

∴||·|﹣2k+3|＝12，

當k＞0時，4k2﹣36k+9＝0，

∴k＝，

當k＜0時，4k2+12k+9＝0，

∴k＝﹣；

綜上所述：當k＝或k＝﹣時，直線束y＝kx﹣2k+3中的直線與x軸、y軸圍成的三角形面積為12．