Question

【題目】如圖，頂點為的拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

（1）求這條拋物線對應的函數表達式；

（2）問在軸上是否存在一點，使得為直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

（3）若在第一象限的拋物線下方有一動點，滿足，過作軸于點，設的內心為，試求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點坐標為或或或時，為直角三角形；（3）最小值為.

【解析】

（1）結合題意，用待定系數法即可求解；

（2）分3種情況討論，用勾股定理即可求解；

（3）根據正方形的判定和勾股定理，即可得到答案.

（1）∵拋物線過點，，

∴，解得：，

∴這條拋物線對應的函數表達式為.

（2）在軸上存在點，使得為直角三角形．

∵，

∴頂點，

∴，

設點坐標為，

∴，，

①若，則.

∴，

解得：，

∴.

②若，則，

∴，

解得：，，

∴或.

③若，則，

∴，

解得：，

∴.

綜上所述，點坐標為或或或時，為直角三角形．

（3）如圖，過點作軸于點，于點，于點，

∵軸于點，

∴，

∴四邊形是矩形，

∵點為的內心，

∴，，，，

∴矩形是正方形，

設點坐標為，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴化簡得：，

配方得：，

∴點與定點的距離為.

∴點在以點為圓心，半徑為的圓在第一象限的弧上運動，

∴當點在線段上時，最小，

∵，

∴，

∴最小值為.