Question

【題目】如圖，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，動點 P 從點 B 出發以 2cm/s 速度向點 c 移動，同時動點 Q 從 C 出發以 1cm/s 的速度向點 A 移動， 設它們的運動時間為 t．

（1）根據題意知：CQ= ，CP= ；（用含 t 的代數式表示）

（2）t 為何值時，△CPQ 的面積等于△ABC 面積的？

（3）運動幾秒時，△CPQ 與△CBA 相似？

Answer 1

【答案】（1）PC=4﹣2t，CQ=t（2）經過或秒后，△CPQ 的面積等于△ABC 面積的（3）1.2 或

【解析】

（1）由動點 P 從點 B 出發以 2cm/s 速度向點 c 移動，同時動點 Q 從 C 出發以 1cm/s 的速度向點 A 移動， 設它們的運動時間為 t，可得PC為4﹣2t，CQ為t；

(2)由△CPQ 的面積等于△ABC 面積的，可列方程(4-2t)t= ××3×4，求出t的值即可；

(3)分Rt△ABC∽Rt△QPC與Rt△ABC∽Rt△PQC兩種情況討論，有對應邊成比例，可求得t的值.

(1)經過t秒后，PC=4﹣2t，CQ=t，

(2)當△CPQ 的面積等于△ABC面積的時,即(4-2t)t= ××3×4，

解得；t=或 t=；

答：經過或秒后，△CPQ 的面積等于△ABC 面積是；

（3）設經過t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進行求解，

①若 Rt△ABC∽Rt△QPC 則=，即=，解得 t=1.2；

②若 Rt△ABC∽Rt△PQC 則=，即=，解得 t=；

由 P 點在 BC 邊上的運動速度為 2cm/s，Q 點在 AC 邊上的速度為 1cm/s，可求出t 的取值范圍應該為 0＜t＜2，

驗證可知①②兩種情況下所求的 t 均滿足條件．

答：要使△CPQ 與△CBA 相似，運動的時間為 1.2 或秒．