Question

【題目】如圖，在中，，，是等邊三角形，點在邊上．

（1）如圖1，當點在邊上時，求證；

（2）如圖2，當點在內部時，猜想和數量關系，并加以證明；

（3）如圖3，當點在外部時，于點，過點作，交線段的延長線于點，，.求的長．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2），理由見詳解

【解析】

(1)根據等邊三角形的性質及外角的性質可得，根據等腰三角形的判定定理證明；
(2) 取的中點，連接、，分別證明和，根據全等三角形的性質證明；

(3) 取的中點，連接、、，根據（2）的結論得到，根據全等三角形的性質解答.

（1）證明：∵是等邊三角形，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）解：，理由如下：取的中點，連接、，

∵，

∴，，

∴為等邊三角形，

∴，

∵是等邊三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

（3）、取的中點，連接、、，

由（2）得，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

設，則，，

∴，

∵，

∴，

解得，，

即.