Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P是弦AC上一動點（不與A，C重合），過點P作PE⊥AB，垂足為E，射線EP交弧AC于點F，交過點C的切線于點D．

（1）求證：DC＝DP；

（2）若∠CAB＝30°，當F是弧AC的中點時，判斷以A，O，C，F為頂點的四邊形是什么特殊四邊形？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）以A，O，C，F為頂點的四邊形是菱形，理由見解析.

【解析】分析：（1）連接OC,根據切線的性質和PE⊥OE以及∠OAC=∠ACO，得∠APE=∠DPC，然后結合對頂角的性質可證得結論；
（2）由易得△OBC為等邊三角形，可得由F是的中點，易得△AOF與△COF均為等邊三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得四邊形OACF為菱形.

詳解：(1)證明：連接OC,

∵∠OAC=∠ACO，PE⊥OE，OC⊥CD，

∴∠APE=∠PCD，

∵∠APE=∠DPC，

∴∠DPC=∠PCD，

∴DC=DP；

(2)以A,O,C,F為頂點的四邊形是菱形;

∵

∴△OBC為等邊三角形，

∴

連接OF，AF，

∵F是的中點，

∴

∴△AOF與△COF均為等邊三角形，

∴AF=AO=OC=CF，

∴四邊形OACF為菱形.