Question

已知，在平面直角從標系中，A點坐標為（0，4），B點坐標為（2，0），C（m，6）為反比例函數圖象上一點．將△AOB繞B點旋轉至△A′O′B處．

（1）求m的值；

（2）若O′落在OC上，連接AA′交OC與D點．①求證：四邊形ACA′O′為平行四邊形； ②求CD的長度；

（3）直接寫出當AO′最短和最長時A′點的坐標．

Answer 1

【考點】反比例函數綜合題；等邊三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質；相似三角形的判定與性質；特殊角的三角函數值．

【專題】綜合題．

【分析】（1）只需把點C的坐標代入反比例函數的解析式，就可解決問題；

（2）①過點C作CH⊥y軸與H，如圖1，易證AC=OA=O′A′，要證四邊形ACA′O′為平行四邊形，只需證AC∥O′A′，只需證∠ACO=∠A′O′C即可；

②由平行四邊形ACA′O′可得CD=CO′，要求CD，只需求CO′，只需求出OC及OO′即可；

（3）根據兩點之間線段最短可知：當點O′在線段AB上時AO′最短（如圖2），當點O′在線段AB的延長線上時AO′最長（如圖3）；過點O′作O′N⊥x軸于N，過點A′作A′M⊥O′N于M，易證△BNO′∽△BOA，△A′MO′∽△O′NB，然后只需運用相似三角形的性質即可解決問題．

【解答】解：（1）∵C（m，6）為反比例函數圖象上一點，

∴m==2；

（2）①過點C作CH⊥y軸與H，如圖1．

∵點C的坐標為（2，6），

∴CH=2，OH=6，

∴tan∠COH==，AC==4，

∴∠COH=30°，OA=AC，

∴∠BOO′=60°，∠ACO=∠AOC=30°．

∵BO′=BO，

∴∠BO′O=∠BOO′=60°．

∵∠A′O′B=∠AOB=90°，

∴∠CO′A′=30°，

∴∠ACO=∠CO′A′，

∴AC∥O′A′．

又∵O′A′=OA=AC，

∴四邊形ACA′O′為平行四邊形；

②∵BO′=BO，∠BOO′=60°，

∴△BOB′是等邊三角形，

∴OO′=OB=2．

∵∠CHO=90°，CH=2，OH=6，

∴OC=4，

∴CO′=OC﹣OO′=4﹣2．

∵四邊形ACA′O′為平行四邊形，

∴CD=O′D=CO′=2﹣1；

（3）當AO′最短時A′點的坐標（2+，），當AO′最長時A′點的坐標（2﹣，﹣）．

提示：①當點O′在線段AB上時，AO′最短，

過點O′作O′N⊥x軸于N，過點A′作A′M⊥O′N于M，如圖2．

∵O′N∥OA，

∴△BNO′∽△BOA，

∴==，

∴==，

∴BN=，O′N=．

∵∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′NB=90°，

∴∠MA′O′=∠NO′B，

∴△A′MO′∽△O′NB，

∴==2，

∴A′M=，O′M=，

∴A′（2﹣+， +）即（2+，）；

②當點O′在線段AB延長線上時，AO′最長，

過點O′作O′N⊥x軸于N，過點A′作A′M⊥O′N于M，如圖3．

同理可得：A′（2﹣，﹣）．

【點評】本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、旋轉的性質、相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、三角函數的定義、特殊角的三角函數值、勾股定理等知識，利用平行四邊形的對角線互相平分是解決第（2）②小題的關鍵，構造K型相似是解決第（3）小題的關鍵．