Question

14．某工程招標，現有甲、乙兩個工程隊，若甲、乙兩隊合作12天完成，需費用96萬元，若甲單獨做6天后，剩下的工程由乙做，還需21天才能完成，這樣需費用93萬元．
（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成這項工程分別需多少天？
（2）甲、乙兩個工程隊單獨完成這項工程分別需多少費用？
（3）若要求完成這項任務的費用不得超過95萬元，問怎樣設計甲、乙兩個工程隊的工作時間，才能使工作時間最短？

Answer 1

分析 （1）根據題意可得兩個等量關系為：甲工作效率+乙工作效率=$\frac{1}{12}$，甲工作效率×12+乙工作效率×12=1，列出方程，解方程即可．
（2）根據題意可得兩個等量關系為：（甲每天需要的工程費+乙每天需要的工程費）×12=96；甲每天需要的工程費×6+乙每天需要的工程費×21=93，列出方程組，解方程組即可．
（3）根據題意列出不等式，解不等式，即可得出結果．

解答 解：（1）設甲工程隊單獨完成這項工程需x天，根據題意得：
$\frac{6}{x}$+（$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{x}$）×21=1，
解得：x=20，
經檢驗：x=20是原方程的解；
$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{30}$，1÷$\frac{1}{30}$=30．
答：甲隊獨做需30天，乙隊獨做需120天．
（2）設甲隊獨做需m萬元，乙隊獨做需n萬元，
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{12（\frac{m}{20}+\frac{n}{30}）=96}\\{\frac{6}{20}m+\frac{21}{30}n=93}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=100}\\{n=90}\end{array}\right.$．
答：甲隊獨做需100萬元，乙隊獨做需90萬元．
（3）設甲工程隊工作x天，完成這項任務的費用不得超過95萬元，使工作時間最短；
根據題意得：$\frac{x}{20}$×100+（1-$\frac{x}{20}$）×90≤95，
解得：x≤10，
當x=10時，1-$\frac{10}{20}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$÷$\frac{1}{30}$=15．
答：若要求完成這項任務的費用不得超過95萬元，甲工程隊需要工作10天，乙工程隊需要工作15天，才能使工作時間最短．

點評 本題考查了分式方程的應用、二元一次方程組的應用、一元一次不等式的運用；解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系．此題用到的公式是：工作量問題：工作效率=工作量工作時間．