Question

【題目】已知：是等腰直角三角形，，將繞點順時針方向旋轉得到，記旋轉角為，當時，作，垂足為，與交于點

（1）如圖1，當時，作的平分線交于點.

①寫出旋轉角的度數；②求證：；

（2）如圖2，在（1）的條件下，設是直線上的一個動點，連接，，若，求線段的最小值.（結果保留根號）

Answer 1

【答案】（1）①旋轉角為；②見解析；（2）的最小值為.

【解析】

（1）①解直角三角形求出即可解決問題.

②連接，設交于點.在時截取，連接.首先證明是等邊三角形，再證明，即可解決問題.

（2）如圖2中，連接，，，作交的延長線于.證明，推出，推出，關于對稱，推出，推出，求出即可解決問題.

解：（1）①旋轉角為．

理由：如圖1中，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴旋轉角為.

②證明：連接，設交于點.在時截取，連接.

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∵，

∴，∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

∵，，

∴是等邊三角形，

，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

（2）解：如圖2中，連接，，，作交的延長線于.

由②可知，，，，

∴，

∴，

∴，關于對稱，

∴，

∴，

在中，，，

∴，，

∴.

∴的最小值為.