Question

15．問題情境：如圖1，點D是△ABC外的一點，點E在BC邊的延長線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數量關系．
（1）特例探究：
如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D=30°；
如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A=100°，其余條件不變，則∠D=50°；這兩個圖中，∠D與∠A度數的比是1：2；
（2）猜想證明：
如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結論；若不成立，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根據角平分線的定義得到∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，然后整理即可．
（2）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根據角平分線的定義得到∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，然后整理即可．

解答 解：（1）如圖2，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，∠ACE=120°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．
∴∠DBC=30°，∠DCE=60°，
∵∠DCE=∠D+∠DBC，
∴∠D=30°；
如圖3，∵△ABC是等腰三角形，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，∠ACE=140°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．
∴∠DBC=20°，∠DCE=70°，
∵∠DCE=∠D+∠DBC，
∴∠D=50°；
故答案為30°，50°，1：2；
（2）成立，
如圖1，在△ABC中，∠ACE=∠A+∠ABC，
在△DBC中，∠DCE=∠D+∠DBC，…（1）
∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，
∴∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，
又∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴2∠DCE=∠A+2∠DBC，…（2）
由（1）×2-（2），
∴2∠D+2∠DBC-（∠A+2∠DBC）=0，
∴∠A=2∠D．

點評 本題考查了等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、利用三角形的外角性質和角平分線的定義解答是關鍵．