Question

9．如圖，已知在Rt△ABC與Rt△ECD中，∠ACB=∠ECD=90°，CD為Rt△ABC斜邊上的中線，且ED∥BC．
（1）求證：△ABC∽△EDC；
（2）若CE=3，CD=4，求CB的長．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形的性質得到CD=BD，由等腰三角形的性質得到∠DCB=∠B，根據平行線的性質得到∠EDC=∠BCD，等量代換得到∠B=∠EDC，根據相似三角形的判定定理即可得到結論；
（2）根據勾股定理得到DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=5，由直角三角形的性質得到AB=2CD=8，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 （1）證明：∵在Rt△ABC，CD為Rt△ABC斜邊上的中線，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B，
∵ED∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠B=∠EDC，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴△ABC∽△EDC；

（2）解：∵∠DCE=90°，CE=3，CD=4，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
∵在Rt△ABC，CD為Rt△ABC斜邊上的中線，
∴AB=2CD=8，
∵△ABC∽△EDC，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{DE}$，即$\frac{BC}{4}=\frac{8}{5}$，
∴BC=$\frac{32}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．