Question

【題目】矩形中，點分別在邊上，點分別在邊上，與交于點，記．

（1）如圖1，當時，若，求的值；

（2）如圖2，當時，求的最大值和最小值；

（3）若的值為3，當與重合且為直角三角形時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當的長取最大時，取最短，此時最大，最大值為；當的最短時，的值取最大，此時的值最小，最小值為；（3）為或

【解析】

（1）作于于，設交于點交于點，易證，得，進而即可求解；

（2）設，則，可得MN最短為，最長為，EF最短為，最長為，進而即可得到結論；

（3）當與重合且為直角三角形時，分兩種情況：①∠DFO=90°時，②當∠DOF=90°時，分別求解，即可．

（1）作于于，設交于點交于點，則，

四邊形是矩形，

，

，

，

又，

，

又，

，

又，

，

，

又，

；

（2），

∴設，則，

時，MN最短為與對角線重合時,MN最長為，

時，EF最短為與對角線重合時，EF最長為，

，

當的長取最大時，取最短，此時最大，最大值為，

當的最短時，的值取最大，此時的值最小，最小值為

即的最大值為，最小值為；

（3）∵=3，

∴設EF=a，則MN=3a，

當與重合且為直角三角形時，分兩種情況：

①∠DFO=90°時，AB=CD=EF=a，BD=MN=3a，

∴BC=，

∴=a：=；

②當∠DOF=90°時，過點F作FG⊥BC于點G，

∴∠EFG+∠FEG=∠DBC+∠FEG，

∴∠EFG=∠DBC，

∵∠FGE=∠BCD=90°，

∴FGE~BCD，

∴，

∵FG=AB，

∴=，

綜上所述：為或．