Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點O是對角線BD的中點，過點O的直線分別交AB、CD于點E、F．

（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）當四邊形DEBF是菱形時，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）根據矩形的性質得到AB∥CD，由平行線的性質得到∠DFO=∠BEO，證明△DOF≌△BOE，根據全等三角形的性質得到DF=BE，于是證明四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）根據四邊形BEDF是菱形，得到DE=BE，EF⊥BD，OE=OF，設AE=x，則DE=BE=8-x根據勾股定理求出DE，BE，再求出BD，OD，最后根據勾股定理求出OE，EF，問題得解．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠DFO=∠BEO，

∵∠DOF=∠BOE ，OD=OB，

∴△DOF≌△BOE，

∴DF=BE，

∵DF∥BE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）∵四邊形DEBF是菱形

∴DE=BE，EF⊥BD，OE=OF，

設AE=x，則DE=BE=8-x，

在Rt△ADE中，根據勾股定理得，

解得，

∴DE=BE=，

在Rt△ABD中，BD=，

∴OD=，

在Rt△EOD中，OE=，

∴EF=2OE= ．