Question

9．（1）如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，若∠A=50°，求∠BOC的度數．
（2）如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB=130°，根據角平分線定義求出∠OBC+∠OCB，根據三角形內角和定理求出即可；
（2）利用角平分線的性質與外角的性質得出∠2=$\frac{1}{2}$∠A+∠1，∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得到∠BOC與∠A的關系．

解答 解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∵∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°；

（2）∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A，
理由：如圖2，
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=$\frac{1}{2}$∠A+∠1-∠1=$\frac{1}{2}$∠A．

點評 本題考查了三角形的外角性質與內角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．