Question

【題目】如圖，為等邊三角形，點是線段上一動點（點不與，重合），連接，過點作直線的垂線段，垂足為點，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接，．

（1）求證：；

（2）延長交于點，求證：為的中點；

（3）在（2）的條件下，若的邊長為1，直接寫出的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）1.

【解析】

（1）由等邊三角形的性質和旋轉的性質可得∠DAB=∠CAE，AB=AC，AD=AE，即可證△ADB≌△AEC，可得BD=CE；
（2）過點C作CG∥BP，交EF的延長線于點G，由等邊三角形的性質和全等三角形的性質可得CG=BD，∠BDG=∠G，∠BFD=∠GFC，可證△BFD≌△CFG，可得結論；
（3）由題意可證點A，點F，點C，點E四點在以AC為直徑的圓上，由直徑是圓的最大弦可得EF的最大值．

證明：（1）∵將線段繞點逆時針旋轉得到線段，

∴，，

∴是等邊三角形，

∵為等邊三角形，

∴，，

∴，且，，

∴，

∴.

（2）如圖，過點作，交的延長線于點，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，且，，

∴，

∴，

∴點是中點.

（3）如圖，連接，

∵是等邊三角形，，

∴，

∴，

∴，

∴點，點，點，點四點在以為直徑的圓上，

∴最大為直徑，

即最大值為1.