Question

【題目】定義：對于給定的兩個函數,任取自變量x的一個值,當x<0時,它們對應的函數值互為相反數;當x0時,它們對應的函數值相等,我們稱這樣的兩個函數互為相關函數。例如：一次函數y=x1,它們的相關函數為y= .

(1)已知點A(5,8)在一次函數y=ax3的相關函數的圖象上，求a的值；

(2)已知二次函數y=x+4x .

①當點B(m, )在這個函數的相關函數的圖象上時，求m的值；

②當3x3時,求函數y=x+4x的相關函數的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①m=2 或m=2+或m=2 ；②最大值為 ,最小值為.

【解析】

（1）寫出y=ax-3的相關函數，代入計算；

（2）①寫出二次函數y=x+4x的相關函數，代入計算；

②根據二次根式的最大值和最小值的求法解答．

(1)y=ax3的相關函數y= ，

將A(5,8)代入y=ax+3得：5a+3=8，

解得a=1；

(2)二次函數y=x+4x的相關函數為y= ，

①當m<0時,將B(m, )代入y=x-4x+

得m-4m+，

解得：m=2+ (舍去),或m=2，

當m0時,將B(m, )代入y=x+4x得：

m +4m ，

解得：m=2+或m=2.

綜上所述：m=2 或m=2+或m=2 ；

②當3x<0時, y=x+4x，拋物線的對稱軸為x=2，

此時y隨x的增大而減小，

∴此時y的最大值為，

當0x3時,函數y=x+4x，拋物線的對稱軸為x=2，

當x=0有最小值,最小值為,當x=2時,有最大值,最大值y= ，

綜上所述,當3x3時,函數y=x+4x的相關函數的最大值為 ,最小值為.