Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O在AB上，以O為圓心，以OA長為半徑的圓分別與AC，AB交于點D，E，直線BD與⊙O相切于點 D．

(1)求證：∠CBD=∠A；

(2)若AC=6，AD：BC=1:．

①求線段BD的長；

②求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2)①BD=3；②

【解析】

(1)連接OD，由切線的性質可得∠BDO=90°，再利用等腰三角形的性質及互余關系可得∠CBD=∠A；

(2)①先由∠C=∠C，∠CBD=∠A，證得△ACB∽△BCD，再利用相似三角形的性質得出比例式，根據已知條件設AD=x，BC=x，解出x的值，則可求得BD的長；

②由①可知BC=3，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB，設OA=OD=r，則OB=3﹣r，在Rt△OBD中，由勾股定理得關于r的方程，解得r的值，再利用圓的面積計算公式求得答案即可．

解：(1)證明：連接OD，

∵直線BD與⊙O相切于點D，

∴∠BDO=90°，

∴∠BDC+∠ODA=90°，

∵∠C=90°，

∴∠CBD+∠BDC=90°，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠BDC+∠OAD=90°，

∴∠CBD=∠A；

(2)①∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，

∴△ACB∽△BCD，

∴，

∵AC=6，AD：BC=1：，

∴設AD=x，BC=x，

∴ ，

解得：x=3，

∴BD=3；

②由①可知BC=3，

又∵∠C=90°，AC=6，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：，

設OA=OD=r，則OB=3﹣r，

∴在Rt△OBD中，由勾股定理得：r2+，

解得：r=，

∴⊙O的面積為：π×=．