Question

17．已知：線段AB．
（1）尺規作圖：作線段AB的垂直平分線l，與線段AB交于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的基礎上，點C為l上一個動點（點C不與點D重合），連接CB，過點A作AE⊥BC，垂足為點E．
①當垂足E在線段BC上時，直接寫出∠ABC度數的取值范圍．
②請你畫出一個垂足E在線段BC延長線上時的圖形，并求證∠BAE=∠BCD．

Answer 1

分析 （1）利用作已知線段的垂直平分線的法作圖即可；
（2）①根據銳角三角形的高在三角形內即可解決．
②利用等角的余角相等證明．

解答 解：（1）直線l即為所求作的直線．（見圖1）

（2）①45°≤∠ABC＜90°．
理由如下：連接AC，
當∠ACB≤90°時垂足E在線段BC上，
∵CD垂直平分AB，
∴CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵2∠CBA+∠ACB=180°，
∴2∠CBA≥90°
∴∠CBA≥45°
∵∠CBA是銳角，
∴45°≤∠CBA＜90°
②在圖2中，


證明：∵線段AB的垂直平分線為l，
∴CD⊥AB，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=∠BDC=90°，
∴∠BAE+∠B=∠BCD+∠B=90°，
∴∠BAE=∠BCD．

點評 本題考查垂直平分線的作法、三角形的高、都等角的余角相等等知識，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．