Question

5．如圖，已知矩形紙片BDEF和直角三角板BCA，點A在EF上，AC=DE=$\sqrt{3}$，FE=3$\sqrt{5}$，∠C=90°，∠CBA=30°．
（1）寫出三種不同類型的結論．
（2）將直角三角板BCA繞點B旋轉，在旋轉過程中，
 ①求點A與點E的最短距離．
 ②若將直角三角板繞點B從①中位置開始順時針旋轉α度（0≤α＜360），使∠BAE=90°，求α的度數．

Answer 1

分析 （1）在RT△ABC中，由∠C=90°，∠ABC=30°，AC=$\sqrt{3}$可以求出∠BAC，AB，BC，通過AB=2BF得∠FAB=30°進而交于得到AG=BG．
（2）①如右圖當A、B、E共線時，AE最小，求出BE即可．
②兩種情形畫出圖形，求出∠EBA′和∠EBA″即可．

解答 解：（1）在RT△ABC中，∵∠C=90°，AC=$\sqrt{3}$，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3，∠BAC=90°-∠ABC=90°-60°=30°
∵四邊形BDEF是矩形，
∴$BF=ED=AC=\sqrt{3}$，∠F=90°
∴AB=2BF，∠FAB=30°，
∴∠GBA=∠GAB，
∴GB=GA．
三個不同類型結論為：AB=2$\sqrt{3}$，∠BAC=60°，BG=GA．
（2）①如右圖當A、B、E共線時，AE最小，連接BE，
∵四邊形BDEF是矩形，
∴∠D=90°，BD=EF=3$\sqrt{5}$，BF=DE=$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴AE的最小值=BE-AB=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
②在圖1中，∵∠BA′E=90°，
∴cos∠EBA′=$\frac{A′B}{BE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EBA′=60°同理在圖2中，∠A″BE=60°，
∴旋轉角α=60°或300°．

點評 本題考查直角三角形中30°的性質、勾股定理、三角函數的定義、旋轉的性質等知識，利用三角函數值求角是解決最后一問的關鍵．