Question

10．△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，兩個動點P和Q同時從點A出發，P沿AC運動，Q沿AB，BC運動，結果兩個動點同時到達點C．
（1）點Q的速度是點P速度的幾倍？
（2）當AP為何值時，△APQ的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{16}$？

Answer 1

分析 （1）根據P、Q同時出發、同時到達，知P、Q時間一致，路程比即等于速度比可得；
（2）分點Q在AB、BC上運動討論，點Q在AB上運動時面積最大值小于$\frac{3\sqrt{3}}{16}$情況排除，點Q在BC上運動時，求出AP邊上的高，根據面積列出方程求解可得AP的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，
∴BC=2，AC=$\sqrt{3}$，
∵兩個動點P，Q同時從A點出發，點P沿AC運動，點Q沿AB，BC運動，兩點同時到達點C
∴Q的速度是P的速度的（2+1）÷$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$倍；

（2）設AP=x，由（1）知Q點運動路程為$\sqrt{3}$x，
①點Q在AB上運動，0≤$\sqrt{3}x$≤1，即0≤x≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當點Q與點B重合時，△APQ的面積最大；
此時AQ=AB=1，則AP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故△APQ的面積為：$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$＜$\frac{3\sqrt{3}}{16}$；
②點Q在BC上運動，1＜$\sqrt{3}x$≤3，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜x≤$\sqrt{3}$；

如圖所示，過點Q作QM⊥AC，垂足為M，
則CQ=3-$\sqrt{3}$x，
∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，
∴QM=$\frac{1}{2}$CQ=$\frac{3-\sqrt{3}x}{2}$，
根據題意，得：$\frac{1}{2}•x•\frac{3-\sqrt{3}x}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{16}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（符合題意）．
答：當AP為$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，△APQ的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{16}$．

點評 本題主要考查點的運動綜合問題，求AP的值分情況討論是前提，求出高并根據面積列出方程求解是關鍵．