Question

7．如圖（1），直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經過B、C兩點的拋物線y=x²+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C、P、M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連結AC，在x軸上是否存在點Q，使以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（圖（2）、供畫圖探究）

Answer 1

分析 （1）根據自變量與函數值的對應關系，可得B、C點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據等腰三角的定義，可得關于b的方程，根據解方程，可得b的值，可得M點坐標；
（3）分成$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，∠PBQ=∠ABC=45°和$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{BC}$，∠QBP=∠ABC=45°兩種情況求得QB的長，據此即可求解．

解答 解：（1）當x=0時，y=3，即C（0，3），當y=0時，x=3，即B（3，0），
將B、C點坐標代入函數解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=x²-4x+3；
（2）如圖1，
y=x²-4x+3=（x-2）²-1，即P（2，-1），
對稱軸為x=2，設M（2，b），MP=|b+1|，CP=2$\sqrt{5}$，MC=$\sqrt{{2}^{2}+（b-3）^{2}}$，
當MC=MP時，$\sqrt{{2}^{2}+（b-3）^{2}}$=|b+1|，化簡，得8b=12，解得b=$\frac{3}{2}$，即M（2，$\frac{3}{2}$）；
當MC=CP時，$\sqrt{{2}^{2}+（b-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，化簡，得b²-6b-7=0，解得b=7，b=-1（舍），即M（2，7）；
當MP=CP時，|b+1|=2$\sqrt{5}$，化簡，得b²+2b-19=0，解得b=-1+2$\sqrt{5}$，b=-1-2$\sqrt{5}$，
M（2，-1+2$\sqrt{5}$），M（2，-1-2$\sqrt{5}$），
綜上所述：在該拋物線的對稱軸上存在點M，使以C、P、M為頂點的三角形為等腰三角形，點M的坐標為（2，$\frac{3}{2}$）；（2，7）；（2，-1+2$\sqrt{5}$），M（2，-1-2$\sqrt{5}$）；
（3）如圖2，
①當$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，∠PBQ=∠ABC=45°時，△PBQ∽△ABC．
即$\frac{BQ}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴BQ=3，
又∵BO=3，
∴點Q與點O重合，
∴Q₁的坐標是（0，0）．
②當$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{BC}$，∠QBP=∠ABC=45°時，△QBP∽△ABC．
即$\frac{QB}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
QB=$\frac{2}{3}$．
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$
∴Q₂的坐標是（$\frac{7}{3}$，0）．
∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴點Q不可能在B點右側的x軸上
綜上所述，在x軸上存在兩點Q₁（0，0），Q₂（$\frac{7}{3}$，0）．

點評 本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求二次函數的解析式，相似三角形的判定與性質，正確進行分類求得QB的長是關鍵．