Question

【題目】四邊形為正方形，點為線段上一點，連接，過點作，交射線于點，以、為鄰邊作矩形，連接．

（1）如圖，求證：矩形是正方形；

（2）若，求的長度；

（3）當線段與正方形的某條邊的夾角是30°時，直接寫出的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）當與的夾角為時，；當與的夾角為時，

【解析】

（1）過作于點，于點，證明，得到，根據正方形的判定定理證明即可；

（2）通過計算發現是中點，點與重合，由（1）可知四邊形是正方形，由此即可解決問題．

（3）分兩種情形考慮問題即可；

解：（1）證明：過作于點，于點，如圖：

∵四邊形為正方形

∴

∴

∵

∴

∵

∵

∴

∴在和

∴

∴

∴矩形是正方形．

（2）如圖：

∵由（1）可知，在中，

∴

∵

∴

∴與重合

∵四邊形是正方形

∴．

（3）①當與的夾角為時，如圖：

∵，

∴

∴

∴；

②當與的夾角為時，如圖：

∵，

∴

∴

∵

∴．

∴綜上所述， 或

故答案是：（1）證明見解析（2）（3）當與的夾角為時，；當與的夾角為時，