Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸相交于、兩點（點在點的左側），與軸交于點.

（1）點的坐標為__________，點的坐標為__________，線段的長為__________，拋物線的解析式為__________.

（2）點是線段下方拋物線上的一個動點.

①如果在軸上存在點，使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形.求點的坐標.

②如圖2，過點作交線段于點，過點作直線交于點，交軸于點，記，求關于的函數解析式；當取和時，試比較的對應函數值和的大小.

Answer 1

【答案】（1）、、、；（2）①點的坐標為或；②.

【解析】

(1)由題意得：，故，即可求解；

(2)①分是平行四邊形的一條邊時、是平行四邊形的對角線時，兩種情況分別求解即可；

②如圖，過點作軸交于點，證明，根據相似三角形的對應邊成比例可得，設點，點，則，繼而可得，由此即可求得答案.

(1)由題意得：，故，

故拋物線的表達式為：，

令，則或，即點、的坐標分別為、，

則，

故答案為：、、、；

(2)①當是平行四邊形的一條邊時，

如圖所示，點向右平移4個單位、向上平移4個單位得到點，

設：點，點，

則點向右平移4個單位、向上平移4個單位得到點，

即：，，

解得：或6(舍去4)，

即點；

當是平行四邊形的對角線時，

設點、點，其中，

由中心公式可得：，，

解得：或4(舍去4)，

故點；

故點的坐標為或；

②如圖，過點作軸交于點，

∵軸，∴，

∵軸，∴，

∴，∴，即：，

則，

設點，點，

則，

則，

，

當時，，

當時，，

則，

則，∴，

.