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【題目】C為線段AB的中點,四邊形BCDE是以BC為一邊的正方形.以B為圓心,BD長為半徑的⊙BAB相交于F點,延長EB交⊙BG點,連接DG交于ABQ點,連接AD.

求證:(1)AD是⊙B的切線;(2)AD=AQ;(3)BC2=CFEG.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】試題分析:(1)連接BD,由DC⊥AB,C為AB的中點,由線段垂直平分線的性質,可得AD=BD,再根據正方形的性質,可得∠ADB=90°;
(2)由BD=BG與CD∥BE,利用等邊對等角與平行線的性質,即可求得∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°,繼而求得∠ADQ=∠AQD=67.5°,由等角對等邊,可證得AD=AQ;
(3)易求得∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE,∠DCF=∠E=90°,即可證得Rt△DCF∽Rt△GED,根據相似三角形的對應邊成比例,即可證得結論.

試題解析:

(1)連接BD,

四邊形BCDE是正方形,

∴∠DBA=45°,∠DCB=90°,即DC⊥AB,

C為AB的中點,

CD是線段AB的垂直平分線,

∴AD=BD,

∴∠DAB=∠DBA=45°,

∴∠ADB=90°,

即BD⊥AD,

BD為半徑,

AD是B的切線;

(2)∵BD=BG,

∴∠BDG=∠G,

∵CD∥BE,

∴∠CDG=∠G,

∴∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°,

∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°,∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°,

∴∠ADQ=∠AQD,

∴AD=AQ;

(3)連接DF,

BDF中,BD=BF,

∴∠BFD=∠BDF,

∵∠DBF=45°,

∴∠BFD=∠BDF=67.5°,

∵∠GDB=22.5°,

在RtDEF與RtGCD中,

∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE,∠DCF=∠E=90°,

∴Rt△DCF∽Rt△GED,

,

∵CD=DE=BC,

∴BC2=CFEG.

練習冊系列答案
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A. 10B. 12 C. 15 D. 18

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