Question

【題目】探究：

（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求證：∠P＝90°+∠A．

（2）如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何數量關系，并證明你的結論．

（3）如圖3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何數量關系，請直接寫出結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠A＝∠P，理由見解析；（3）∠P＝90°﹣∠A，理由見解析

【解析】

（1）根據三角形內角和定理以及角平分線的性質進行解答即可：

（2）根據角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和，可求出∠A的度數，根據補角的定義求出∠ACB的度數，根據三角形的內角和即可求出∠P的度數，即可求出結果，

（3）根據三角形的外角性質、內角和定理、角平分線的定義探求并證明.

證明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．

又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠PBC＝∠ABC，

∠PCB＝∠ACB，

∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠A），

根據三角形內角和定理可知∠BPC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；

（2）∠A＝∠P，理由如下：

∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，

∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE．

∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，

∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，

∴∠ACP＝∠ABC+∠A，

∴∠ABC+∠A＝∠PBC+∠P，

∴∠A＝∠P．

（3）∠P＝90°﹣∠A，理由如下：

∵P點是外角∠CBF和∠BCE的平分線的交點，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°

∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）

＝180°﹣（∠FBC+∠ECB）

＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）

＝180°﹣（∠A+180°）

＝90°﹣∠A．