Question

18．已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB分別與x、y軸交于點B、A，與反比例函數的$y=\frac{k}{x}$圖象分別交于點C、D，CE⊥x軸于點E，$tan∠ABO=\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2．
（1）求該反比例函數的解析式；
（2）連結OC、OD，求△COD的面積；
（3）當反比例函數的函數值大于一次函數的函數值時，寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件求出C點坐標，用待定系數法求出反比例的函數解析式；
（2）根據已知條件求出A、B點坐標，用待定系數法求出直線的解析式，聯立一次函數的解析式和反比例函數的解析式可得交點D的坐標，從而根據三角形面積公式求解；
（3）根據函數的圖象和交點坐標即可求得．

解答 解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x軸于點E，tan∠ABO=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$．
∴CE=3．
∴點C的坐標為（-2，3）．
將點C的坐標代入，得3=$\frac{k}{-2}$，
∴k=-6．
∴該反比例函數的解析式為y=-$\frac{6}{x}$．
（2）在RT△AOB中，tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$．
∴OA=2，
∴A（0，2），
∵OB=4，
∴B（4，0），
設直線AB的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2．
聯立反比例函數的解析式和直線AB的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{6}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴C（-2，3），D（6，-1），
∴S_△COD=S_△BOC+S_△BOD=$\frac{1}{2}$×4×2+$\frac{1}{2}$×4×1=8；
（3）由圖象得，一次函數值小于反比例函數值的x的取值范圍：-2＜x＜0或x＞6．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．